极限的常用求法总结

1. 直接代入法

若函数在该点连续，直接将 $x$ 代入即可：

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

2. 等价无穷小替换

当 $x \to 0$ 时，常用等价无穷小：

原式	等价无穷小
$\sin x$	$x$
$\tan x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\ln(1+x)$	$x$
$e^x - 1$	$x$
$1 - \cos x$	$\frac{x^2}{2}$

3. 洛必达法则

适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

4. 泰勒展开法

将函数展开为幂级数，适合处理加减型不定式：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

5. 夹逼准则

若 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = L$，则：

$$\lim f(x) = L$$

6. 两个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

更一般地：

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$